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Message de manstaw posté le 04-09-2025 à 16:06:42 (S | E | F)
Soit un pentagone régulier ABCDE tel que AB = 1. Les droites (DE) et (DC) coupent la droite (AB) respectivement en F et G. Les droites (DA) et (DB) coupent le demi-cercle FG respectivement en I et J.
Quelle la valeur exacte du segment IJ ?
Message de manstaw posté le 04-09-2025 à 16:06:42 (S | E | F)
Soit un pentagone régulier ABCDE tel que AB = 1. Les droites (DE) et (DC) coupent la droite (AB) respectivement en F et G. Les droites (DA) et (DB) coupent le demi-cercle FG respectivement en I et J.
Quelle la valeur exacte du segment IJ ?
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 05-09-2025 à 15:53:13 (S | E)
Bonjour, d'abord la figure
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 05-09-2025 à 16:28:29 (S | E)
Puis déterminer tous les angles.
Pour les angles au sommet du pentagone, c'est 108°
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 06-09-2025 à 17:31:02 (S | E)
Si le demicercle est del'autre coté du diamètre on a cette figure (non précisé dans l'énoncé)
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 07-09-2025 à 11:05:34 (S | E)
Bon une méthode pour calculer IJ (je me place dans ma deuxième figure)
Une fois qu'on a le plus d'angles possibles (il y a des triangles isocèles), on peut calculer la hauteur h issue de D dans le triangle DAB
On peut calculer AG (qui est aussi égal à DA) et en déduire le rayon r du demi cercle
Soit O le milieu du segment [AB] et donc le centre du demi cercle
Dans le triangle DOI on connait DO=h et OI=r ainsi que l'angle de sommet D, la loi des sinus permet de trouver les autres angles et d'en déduire DI (par Al Kashi).
On termine avec Thalès car IJ/AB=DI/DA donc IJ=DI/DA
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Modifié par tiruxa le 08-09-2025 15:57
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 08-09-2025 à 19:25:54 (S | E)
Quand on pose une question, il est bon de venir lire les réponses....
Bon cela donne dans AOD
h=0,5*tan(72°)
DA=0,5/cos(72°)
d'où r=0,5+0,5/cos(72°)
Ensuite dans DOI
L'angle de sommet I mesure arcsin(hsin(18°)/r) que je note alpha (en degrés)
On a alors DI=sqrt(h²+r²-2hrcos(162-alpha))
puis IJ=DI/DA
d'où en valeur exacte
[sqrt(h²+r²-2hrcos(162-arcsin(hsin(18°)/r)))]/[0,5/cos(72°)]
ou en valeur approchée
2,18011
Réponse : Trigo de tiruxa, postée le 14-09-2025 à 11:20:01 (S | E)
Bon pour la première figure c'est le même raisonnement :
On a toujours r=0,5+0,5/cos(72°) et DA=0,5/cos(72°)
Ensuite dans AOI où O est milieu de [AB]
L'angle de sommet I mesure arcsin(0,5*sin(72°)/r) que je note alpha (en degrés)
On a alors AI=sqrt(0,25+r²-rcos(108-alpha))
puis IJ=DI/DA=(IA-DA)/DA=IA/DA - 1
d'où en valeur exacte
[sqrt(0,25+r²-cos(108-arcsin(0,5*sin(72°)/r)]/[0,5/cos(72°)]-1
ou en valeur approchée 0,37109
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